Barisan dan Deret SMP (Bagian 1: Materi)

                                  Mata Pelajaran Matematika Kelas IX / Semester 1 SMP

A.  Standar Kompetensi

1.     Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

2.     Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotongroyong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya.

3.     Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.

4.     Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.

B.   Kompetensi Dasar

1.1     Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya

2.1    Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab,   responsif, dan tidak mudah menyerah dalam menyelesaikan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika

2.2    Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar

3.10   Menerapkan pola dan generalisasi untuk membuat prediksi

4.4  Mengenal pola bilangan, barisan, deret, dan semacam, dan memperumumnya; menggunakan untuk menyelesaikan masalah nyata serta menemukan masalah baru

C.       Indikator Pencapaian Kompetensi

1.1.1.    Tekun dalam mempelajari Pola, Barisan dan Deret sebagai cermin menghayati ajaran agama yang dianutnya

1.1.2.    Jujur dalam menyelesaikan tugas Pola, Barisan dan Deret sebagai cermin menghayati ajaran agama yang dianutnya

2.1.1.    Aktif dalam kerja kelompok (gotong royong)

2.1 2.    Tidak mudah menyerah dalam menyelesaikan masalah matematika

2.2.1.    Suka bertanya kepada guru atau teman lain selama proses pembelajaran (rasa ingintahu)

2.2.2.    Menyampaikan hasil diskusi kelompok di depan kelas dengan rasa percaya diri

3.10.1   Menjelaskan pengertian pola barisan

3.10.2  Menentukan pola barisan

4.4.1    Mengenal barisan dan deret aritmetika

4.4.2    Mengenal barisan dan deret geometri

4.4.3     Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika

4.4.4     Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri

................................................................................................................................................................................

Peta Konsep

A. Pola Bilangan

Barisan bilangan Real adalah susunan atau deretan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu yang dapat berupa rumus, bentuk aljabar dan bentuk persamaan..

Contoh :   4, 8, 12,... disebut barisan builangan genap.

                 1,4,9,16,... disebut bilangan persegi.

Setiap bilangan yang membentuk satu barisan dinamakan suku

B. Barisan dan Deret

a) Pengertian Barisan

Barisan adalah rangkaian bilangan yang disusun menurut aturan atau pola tertentu.

Bentuk umum:

                                   U₁, U₂, U₃, ...U_n

Keterangan:

U_1 = suku pertama

U_{2 =} suku kedua

U_{3 =} suku ketiga

U_{n =} suku ke-n

b) Pengertian Deret

Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan

Bentuk umum:

                          Sn =  U₁ + U₂  + U₃ + ... + U_n

Keterangan:

Sn = jumlah suku ke-n

Barisan dan Deret terbagi menjadi 2 yaitu Aritmatika dan Geometri

i) Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap suku-sukunya beruru-tan dan mempunyai selisih (beda) yang tetap (konstan)

.

Bentuk umum:

                           U₁, U₂, U₃, ...U_n

                      _{a, a+b,a+2b,...,a+(n-1)b}

_{Pada barisan aritmatika terdapat beberapa rumus sebagai berikut:}

_{a) Rumus beda (b)}

         b = Un - U_n-1

         b = U₂ -  U₁ =  U₃  - U₂

_{b) Rumus mencari suku ke-n} 

               U_{n = a+ (n-1) b}

U_1 = a = suku pertama/suku awal

U_{2 = a + b}

U_{3 =} a + 2b

U_{4 =} a + 3b

c) Suku tengah barisan aritmatika

Suku tengah dari barisan aritmatika  terjadio jika banyaknya suku ganjil, dirumuskan :

Bentuk umum:

                Ut = ½ ( a + Un )

Contoh

Tentukan  beda dari barisan aritmatika berikut :

a.     1,3,5,7,,9...                  b. 16,14,12,10,... Tentukan suku ke-10

Jawab :

a.    b = U₂ -  U₁ = 3 – 1 = 2.

b.    b = U₂ -  U₁ = 14 - 16 = -2

    Suku ke -10 adalah 

 U_{n = a+ (n-1) b}

U10 _{= 16 + (10-1)(-2)}

U10 _{= 16 + (-18) = -2}

_{maka suku ke-10 bilangan tersebut adalah -2}

Deret aritmatika adalah jumlah nilai dari barisan aritmatika

Bentuk umum:

                       U_{1 +} U_2 + U_3 + ... + U_n

               _{a + (a+b) + (a+2b) +... + (a+(n-1)b)}

Rumus mencari jumlah n suku pertama

                     Sn = n/2 (a + U_{n) =} n/2 [2a+(n-1)b]

Sn adalah jumlah n suku yang pertama

Contoh:

Tentukan  jumlah 10 suku pertama 1,3,5,7,9,... adalah

Pembahasan

Perhatikan barisan dan aritmatika berikut 1+3+5+7+ 9+...

n= 10, a= 1 dan b= 3-1 =2

maka

Sn = n/2 [2a+(n-1)b]

Sn = 10/2 [2.1+(10-1)2]

Sn = 5 [2+18]

Sn = 5 . 20 = 100

maka jumlah 10 suku pertama barisan 1,3,5,7,9,... adalah 100

ii) Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku – sukunya berurutan dan mempunyai pembanding / ratio yang tetap ( konstan ).

Bentuk umum:

                              U₁, U₂, U₃, ...U_n

                            a, ar, ar^2, .., ar^(n-1)

Pada barisan aritmatika terdapat beberapa rumus sebagai berikut:

a) Rumus rasio (r)

         r = Un / U_{n-1 =} U_{2 /} U_{1 =} U_{3 /} U₂

_{b) Rumus mencari suku ke-n}

        Un = ar^(n-1)

U_{1 = a,} U_{2 = ar,} U_{3 = ar^2}

Contoh:

Tentukan U_{10 dan rasionya pada barisan geometri berikut 2, 6, 18, 54, ...}

_Pembahasan

Rasionya adalah

r = 6/2 = 3 atau  18/6 = 3 atau 54/18= 3

maka suku ke-10 adalah

Un = ar^(n-1)

U10 = 2. 3^(10-1)

U10 = 39.266

Deret Geometri

Bentuk umum:

               U1   + U2, + U3, +  ... + Un

           U1  + U1 .r + U1r2 + U1 r3 + ... + U1 r(n – 1). Atau

            a  + a.r + a2 + ar3 + ... + ar(n – 1).

Rumus n jumlah suku pertama deret geometri adalah :

Sn = a                         jika r < 1, r ≠ 1  atau

Sn =                        jika r > 1, r ≠ 1

POLA BILANGAN

1. Pola Bilangan Ganjil

Perhatikan gambar berikut

Gambar 1  
Pada gambar 1 diatas,
Apakah antara persegi yang berwarna dengan persegi
yang tidak berwarna membentuk pola bilangan ganjil?Jelaskan!
Selanjutnya kita bandingkan jumlah bilangan- bilangan ganjil
terhadap luas persegi.

Perhatikanlah!
        1 = 1 x 1 = 1²

        1 + 3 = 2 x 2 = 2²

        1 + 3 + 5 = 3 x 3 = 3²

        1 + 3 + 5 + 7 = 4 x 4 = 4²

        1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 5²                                    

Dari hasil diatas, bagaimanakah hubungan antara hasil penjumlahan
bilangan- bilangan ganjil yang terurut dengan luas persegi panjang.

Dapatkah kita simpulkan bahwa jumlah dari n bilangan ganjil yang pertama adalah n².

Contoh 1:

Tentukanlah jumlah dari 8 bilangan ganjil yang pertama!

Penyelesaian:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 + 15 = 64 atau n² = 8² = 64

2. Pola Bilangan Genap

Perhatikan gambar berikut

Selanjutnya kita bandingkan jumlah bilangan- bilangan yang genap itu terhadap luas persegi panjang. Perhatikanlah pola penjumlahan berikut!

2 = 2

2 + 4 = 6

2 + 4 + 6 = 12

2 + 4 + 6 + 8 = 20

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42

Dari hasil diatas, bagaimanakah hubungan antar hasil penjumlahan bilangan- bilangan genap yang terurut dengan luas persegi panjang?

Dapat kita simpulkan bahwa jumlah dari n bilangan genap yang pertama adalah n(n + 1)

Contoh 2:

Tentukan jumlah dari 7 bilangan genap yang pertama!

Penyelesaian:

Tujuh bilangan genap yang pertama adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

Jumlah 7 bilangan genap yang pertama adalah = n (n + 1) = 7 ( 7 + 1 ) = 56

3. Pola Bilangan Persegi

Perhatikan gambar berikut

Pada pola gambar diatas,tuliskan jumlah noktah dari masing- masing pola. Coba kamu gambarkan pola bilangan apakah yang ditunjukkan noktah pola ke-6?

Karena bilangan- bilangan 1, 4, 9, 16 berhubungan dengan persegi, maka bilangan itu dinamakan pola bilangan persegi.

Pola bilangan ke-n dari bilangan persegi adalah n²

Contoh 3

Hitunglah jumlah titik pola ke-10 dari bilangan persegi.

Penyelesaian:

Banyak titik pola ke-10 dari bilangan persegi adalah n² = 10² = 100

4. Pola Bilangan Segitiga

Perhatikan gambar berikut

Dalam sebuah akrobat para pemainnya mendominasikan keahliannya yaitu pemain atas berdiri pada pundak pemain dibawahnya, sehingga yang paling tinggi hanya satu orang.
Jika diperhatikan, berbentuk apakah susunan pemain akrobat itu?
Bila banyaknya orang pada tingkat ke-2 dan ke-3?
Pola bilangan segitiga diambil dari salah satu barisan bilangan pada segitiga pascal.

Bila kita gambar menggunakan noktah-noktah, akan memiliki pola seperti pada gambar 4 tersebut.

Tuliskan banyaknya noktah-noktah pada pola diatas. Berapakah banyaknya noktah pada pola ke-6, ke-7, ke-8, dan seterusnya.

 Pola barisan diatas1, 3, 6, 10,....karena bentuknya seperti segitiga, maka pola bilangan itu disebut pola bilangan segitiga.

5. Pola Bilangan Persegi Panjang

Perhatikan gambar berikut

Pada setiap perpisahan sekolah, setiap anak dimintai foto untuk dipajang pada sebuah bingkai yang berbentuk persegi. Setiap satu tahun sekali ada pergantian foto disusun membentuk suatu pola bilangan. Jumlah foto pada bingkai pertama ada 2, bingkai kedua 6, bingkai ketiga ada 20, dan seterusnya. Jadi, jumlah foto yang dipasang pada bingkai persegi akan membentuk pola bilangan persegi.

Tentukanlah banyaknya noktah-noktah pada masing-masing pola diatas.berapakah banyaknya noktah pada pola ke 6? Pola bilangan diatas adalah 2, 6, 9, 20,...karena bentuknya seperti persegi panjang, maka pola bilangan itu dinamakan pola bilangan persegi panjang.

6. Pola Bilangan Pascal

Blaise Pascal (1632-1662) adalah Matematikawan dari Prancis. Ia menyusun pola bilangan yang sangat unik, yaitu segitiga pascal. Untuk lebih memahami pola bilangan segitiga pascal, perhatikanlah gambar berikut:

1

1                      1

1                      2                      1

1                      3                      3                      1

            1                      4                      6                      4                      1

1                      5                      10                    10                    5                      1

Bilangan pada diagonal-diagonal segitiga pascal dapat dilihat pada pascal, yaitu:

o   Diagonal ke-1: 1, 1, 1, 1,.....

o   Diagonal ke-2: 1, 2, 3, 4, 5,....

o   Diagonal ke-3: 1, 3, 6, 10,...

o   Diagonal ke-4: 1, 4, 10,...dan seterusnya

Dapatkah kamu melanjutkan sampai pola diagonal ke-9? Bagaimana kamu mendapatkannya?

Pola jumlah baris ke-n pada segitiga pascal adalah 2^n-1

............................................................................................................................................
Daftar Pustaka

Subchan, dkk. Matematika SMP/Mts Kelas IX Semester 1. 2015. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kemendikbud